复数S平面
\[s=\sigma+j\omega\]说明$\mathcal{S}$域是个直角坐标系，其中$\sigma$是实轴坐标，$\omega$是虚轴坐标
复数Z平面
\[z=e^{sT}=e^{(\sigma+j\omega)T}=e^{ \sigma T } e^{j \omega T}=re^{j \omega T}\]其中$r=e^{ \sigma T }$
$\sigma<0\rightarrow r<1$
$\mathcal{S}$域上是左半平面，$\mathcal{Z}$域上是单位圆内。
$\sigma =0 \rightarrow r=1$ $\mathcal{S}$域上是虚轴，$\mathcal{Z}$域上是单位圆。
$ \sigma >0 \rightarrow r>1$
$\mathcal{S}$域上是右半平面，$\mathcal{Z}$域上是单位圆外。
这也是为什么控制理论中判断系统稳定性时，S域判断的是极点在否左半平面，Z域判断极点是否在单位圆内。
个人理解：可能涉及到了拓扑学中的内容，S域平面向左边挤压成一个圆。其几何形状虽然发生了变化，但是相互之间的位置维系依旧保存下来了（Z与S之间转换的边界除外）。
欧拉和Tustin
采样周期为
\[T=\frac{2\pi}{\omega_s}\]其中$\omega_s$为采样频率
两者之间的关系为
\[z=e^{sT}=e^{( \sigma +j \omega )T}=e^{ \sigma T}e^{j \omega T}\]通过Tustin变换就可以把S域的传递函数用时序数字信号的输入和输出表示出来。