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复数
01 May 2019 \[z=a+bi\]复数的起源
复数的意义
把问题求解的作用域扩充了。在某些条件下实数域无法求解，而复数域可以求解。 这是因为复数域是二维的，而实数域是一维的。
参考
傅里叶变换
连续傅里叶变换
正变换
\[X(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}{\int_{-\infty}^\infty}x(t)e^{-i{\omega}t}dt\]逆变换
\[x(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}{\int_{-\infty}^\infty}X(\omega)e^{i{\omega}t}d\omega\].gif)
拉普拉斯变换
正变换
\[F(s)={\int_0^\infty}f(t)e^{-st}dt\]其中
\[s={\sigma}+j{\omega}\]逆变换
\[f(t)={\mathcal{L}^{-1}}[F(s)]=\frac{1}{2{\pi}j}{\int}_{\beta-j\infty}^{\beta+j\infty}F(s)e^{st}ds\]$\mathcal{Z}$变换
维基百科中关于$\mathcal{Z}$变换的定义如下
$\mathcal{Z}$变换是把一连串离散的实数或复数信号，从时域转为复频域的表示。 可以认为是拉普拉斯变换的离散时间等价。
双边$\mathcal{Z}$变换
时域信号$X[n]$的$\mathcal{Z}$变换
\[X(z)=\mathcal{Z}\{x[n]\}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}\]其中
\[z=Ae^{j\phi}=A(\cos{\phi}+j\sin{\phi})\]双边$\mathcal{Z}$变换
\[X(z)=\mathcal{Z}\{x[n]\}=\sum_{n=0}^{\infty}x[n]z^{-n}\]逆$\mathcal{Z}$变换
\[x[n]=\mathcal{Z}^{-1}\{X(z)\}=\frac{1}{2{\pi}j}{\oint_C}X(z)z^{n-1}dz\]$\mathcal{S}$域$\mathcal{Z}$域映射关系
复数S平面
\[s=\sigma+j\omega\]说明$\mathcal{S}$域是个直角坐标系，其中$\sigma$是实轴坐标，$\omega$是虚轴坐标
复数Z平面
\[z=e^{sT}=e^{(\sigma+j\omega)T}=e^{ \sigma T } e^{j \omega T}=re^{j \omega T}\]其中$r=e^{ \sigma T }$
-
$ \sigma <0 \rightarrow r<1$，$\mathcal{S}$域上是左半平面，$\mathcal{Z}$域上是单位圆内。
-
$ \sigma =0 \rightarrow r=1$，$\mathcal{S}$域上是虚轴，$\mathcal{Z}$域上是单位圆。
-
$ \sigma >0 \rightarrow r>1$，$\mathcal{S}$域上是右半平面，$\mathcal{Z}$域上是单位圆外。
这也是为什么控制理论中判断系统稳定性时，S域判断的是极点在否左半平面，Z域判断极点是否在单位圆内。
个人理解：可能涉及到了拓扑学中的内容，S域平面向左边挤压成一个圆。其几何形状虽然发生了变化，但是相互之间的位置维系依旧保存下来了（Z与S之间转换的边界除外）。
${\mathcal{S}}$ 域 ${\mathcal{Z}}$ 域转换
欧拉和Tustin
Tustin变换
采样周期为
\[T=\frac{2\pi}{\omega_s}\]其中$\omega_s$为采样频率
两者之间的关系为
\[z=e^{sT}=e^{( \sigma +j \omega )T}=e^{ \sigma T}e^{j \omega T}\]$\mathcal{S} \rightarrow \mathcal{Z}$
\[z=e^{sT}=\frac{e^{sT/2}}{e^{-sT/2}}{\approx}{\frac{1+sT/2}{1-sT/2}}\]$\mathcal{Z} \rightarrow \mathcal{S}$
\[s=\frac{ln(z)}{T} {\approx} \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1}=\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}\]通过Tustin变换就可以把S域的传递函数用时序数字信号的输入和输出表示出来。
三种变换之间的关系
傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z 变换的联系是什么？为什么要进行这些变换？研究的都是什么？
问题下的几个高赞回答都很有质量。
引用对于三者关系的总结
拉普拉斯变换与连续时间傅里叶变换的关系是： 拉普拉斯变换将频率从实数推广为复数，因而傅里叶变换变成了拉普拉斯变换的一个特例。 当$s$为纯虚数时，$x(t)$的拉普拉斯变换，即为$x(t)$的傅里叶变换。 并不是通过拉氏变换和$\mathcal{Z}$变换获取不满足狄利克雷条件的函数的傅氏变换。事实上由于收敛域的问题，这些函数的傅氏变换是不收敛的，即使通过拉氏变换和Z变换也不可能获得这些函数的傅氏变换。 拉氏变换和$\mathcal{Z}$变换的意义，是将频率域的某些限制条件A，转化为复频率域中与之等价的相应条件A’，然后在复频域内直接观察信号或系统的拉氏变换或Z变换，看$X(\mathcal{s})$或$X(\mathcal{z})$是否满足条件A’，得到相应的结论。用这个结论代替拉氏变换的结论（因为拉氏变换不存在，无法得出结论）。
最后一句话作者应该表达的是傅氏变换结论。